В любом параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин двух его смежных сторон. Это фундаментальное свойство параллелограмма известно как теорема о параллелограмме.
Содержание
Теорема о сумме квадратов диагоналей
Математическая формула
Если обозначить стороны параллелограмма как a и b, а диагонали как d₁ и d₂, то теорема выражается формулой:
- d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Доказательство теоремы
- Рассмотрим параллелограмм ABCD со сторонами AB = CD = a и AD = BC = b
- Проведем диагонали AC = d₁ и BD = d₂
- Применим теорему косинусов для треугольников ABD и ABC
- Для ΔABD: d₂² = a² + b² - 2ab·cos∠A
- Для ΔABC: d₁² = a² + b² - 2ab·cos∠B
- Учитывая, что cos∠B = -cos∠A (так как ∠A + ∠B = 180°)
- Сложим два уравнения: d₁² + d₂² = 2a² + 2b²
Пример расчета
| Стороны параллелограмма | Диагонали | Проверка теоремы |
| a = 3, b = 4 | d₁ = 5, d₂ ≈ 5.66 | 5² + 5.66² ≈ 2(3² + 4²) = 50 |
| a = 6, b = 8 | d₁ = 10, d₂ ≈ 11.31 | 10² + 11.31² ≈ 2(6² + 8²) = 200 |
Следствия из теоремы
- В прямоугольнике сумма квадратов диагоналей равна 2(a² + b²), что совпадает с общей формулой
- В ромбе (a = b) формула упрощается до d₁² + d₂² = 4a²
- В квадрате (частный случай ромба и прямоугольника) d₁² + d₂² = 4a², где d₁ = d₂ = a√2
Практическое применение
- Конструирование механических систем с параллелограммными связями
- Расчет параметров в архитектурных конструкциях
- Решение задач аналитической геометрии
- Проверка правильности построения параллелограммов
Геометрическая интерпретация
Теорема показывает, что для параллелограмма существует постоянная величина, связывающая стороны и диагонали, не зависящая от углов между сторонами. Это свойство является характеристическим для параллелограммов.
Заключение
Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма устанавливает важное соотношение между линейными элементами этой фигуры. Знание этой закономерности позволяет решать широкий круг геометрических задач и находить неизвестные параметры параллелограмма по известным данным.
